Peanov rodoslov

Jedna legenda kaže da je jednom davno postojala žena, zvana super žena, koja je imala ćerku, čija je ćerka imala ćerku, koja je isto tako imala ćerku itd. 100 generacija. Pitanje za tebe dragi čitaoče/čitateljko je šta misliš koliko je verovatno da je ova legenda istinita? Odgovor te čeka na kraju teksta ako ne provališ do tada. Ako manjka stpljenja, evo fusnote1.

Ostavimo sada super ženu po strani i pređimo na Peana. Peano je sigurno postojao. Poput mnogih on je napravio svoj rodoslov. Međutim, za razliku od ostalih rodoslova u vezi sa ovim ima dosta nejasnoća i nerazjašnjenih misterija.

peano
Šta znamo o njegovom rodoslovu. Pored toga da je nastao u poslednjem kvartalu 19. veka, znamo da se u njemu nalazio Peano lično [1]. Znamo i da se otac svake osobe iz rodoslova takođe nalazio u njemu [2]. Pored toga, ne postoje dve ili više osoba u Peanovom rodoslovu koje imaju istog oca [3] kao ni osoba kojoj je Peano otac [4]. Jedno posve neobično tvrđenje potiče od Peanovog drugara Ričarda koji je jednom hvaleći se u kafani rekao da je siguran da ukoliko bi se u nekom drugom rodoslovu nalazio Peano kao i otac svake osobe koja se nalazi u oba rodoslova, to bi sigurno bio rodoslov koji bi sadržao sve osobe koje sadrži i Peanov rodoslov [5]. Ovo je sve što znamo. Zagradama [...] sam obeležio činjenice koje znamo o Peanovom rodoslovu kako bih se kasnije pozivao na njih.

Pokušajmo da vidimo šta na osnovu ovoga možemo da zaključimo. U ovom rodoslovu se sigurno nalazi Peano ([1]), otac od Peana (koristimo se tvrđenjem [2] primenjenim na Peana), otac od oca od Peana (opet tvrđenje [2] samo primenjeno na oca od Peana), zatim otac od oca od oca od Peana, itd… Ovo postaje glomazno. Da bismo kraće pisali umesto „otac od …“ pisaćemo „O…“ a umesto „Peano“ samo „P“. Dakle u ovom rodoslovu su sigurno, gledajući na tvrđenje [2]:

P Peano
OP njegov otac
OOP deda
OOOP pradeda
OOOOP čukundeda
OOOOOP navrdeda
OOOOOOP kurđel
OOOOOOOP askurđel
OOOOOOOOP kurđun
OOOOOOOOOP kurlebalo
OOOOOOOOOOP sukurdol
OOOOOOOOOOOP sudepač
OOOOOOOOOOOOP parđupan
OOOOOOOOOOOOOP ožmikura
OOOOOOOOOOOOOOP kurajber
OOOOOOOOOOOOOOOP sajkatava
OOOOOOOOOOOOOOOOP beli orao
OOOOOOOOOOOOOOOOOP otac od belog orla
OOOOOOOOOOOOOOOOOOP deda od belog orla
itd.

Super što nam je jezik ovako bogat te ove osobe u Peanovom rodoslovu možemo upravo ovako zvati. Jasno je da se sve ove osobe označene u tabeli, tj direktni Peanovi preci po muškoj liniji nalaze u rodoslovu, kao da se i nihova braće ili sestre ne nalaze pošto bi to prkosilo tvrđenju [3]. U njemu nema Peanovih potomaka zbog [4]. Pitanje da li postoji neka osoba koja je u rodoslovu ali nije diraktan predak po muškoj liniji od Peana, tj nije OOO…OP. Zamisli da napišemo novi rodoslov koji sadrži samo ove osobe iz tabele. Po Ričardovoj priči [5], pošto je Peano u ovom novom rodoslovu i pošto se u njemu nalazi otac od svake osobe u njemu, ovaj novi rodoslov sadrži sve osobe iz Peanovog rodoslova. Dakle, zaključujemo da su ova dva rodoslova ista tj. da u Peanovom nema dodatnih osoba.

Interesantno je da nazive iz tabele možemo da kombinujemo. Prvo, radi jednostavnosti ne moramo ponavljati Peano. Tako da dedu od njega možemo zvati samo deda ili OO. Zatim možemo da primetimo da je recimo askurđel (OOOOOOO), otac od kurđela (O OOOOOO) ili deda od navrdede (OO OOOOO) ili pradeda od čukundede (OOO OOOO), itd. samo nastavimo da ovaj niz O rastavimo na dva sa jednim razmakom negde. Bistri odmah vide da ovo mora da je simetrično, odnosno da je recimo O OO isto što i OO O ili da je otac od dede isto što i deda od oca. Lepši primer je da je beli orao, kurđel sukurdola kao i sukurdol kurđela, ili da je poslednji u tabeli (ali ne i u rodoslovu) deda od belog orla isto tako beli orao od dede.

Pošto počinje da se komplikuje da rezimiram. Na osnovu izvora došli smo do zaključka da se svaka osoba iz Peanovog rodoslova, pored njega, može opisati sa nizom slova O. Zatim, primetili smo da se ove osobe mogu kombinovati. Svakom paru ovih osoba, kombinovanjem možemo da pridružimo treću osobu. Ovo kombinovanje je simetrično te je osoba koja se dobija kombinovanjem X i Y ista osoba koja se dobije kombinovanjem Y i X. Kombinovanjem neke osobe i Peana dobijamo tu istu osobu pošto smo se dogovorili da O…OP zovemo samo O….O (recimo čukundeda od Peana je samo čukundeda). Da bi ovo sve bilo lepo i simetrično možemo isto reći da je P ukombinovan sa O….O isto O…O (tj Peanovog čukundedu isto zovemo samo čukundeda).

Neko može čak i da da napravi tablicu ovog kombinovanja. Po vrstama i kolonama su nabrojane ove osobe, a u poljima kombinacija osobe iz odgovarajuće vrste i kolone. Evo kako počinje ova tablica:

Screenshot from 2013-02-06 00:55:06

Ovo je naravno samo početak tablice koja se nastavlja i na desno i na dole. Uz pomoć nje sada je lako videti da je ožmikura askurđelov kurđel.

Ričard kog smo pominjali je često pravio ovakve tablice. Pričalo se da je napravio jednu koja je bila toliko velika da na kog god Peanovog pretka pomislite on se sigurno nalazio u njoj. Vremenom Ričard je počinjao da gubi razum i počeo je da pravi netačne tablice, ali pošto je bio pedantan uvek su bile bazirane na nekom jednostavnom pravilu. Jednom je napravio tablicu koja je u prvom redu imala samo Peana, a zatim je u svaki sledeći red napisao osobu koja je kombincija osobe u polju iznad sa osobom na koju je naslovljena kolona. Tako je na primer u koloni naslovlenoj na dedu, svaka sledeća osoba na dole je deda prethodnoj. Ono što je dobio počinjalo je ovako:
Screenshot from 2013-02-06 00:57:01

Vrlo brzo se ispostavilo da ovo novo Ričardovo kombinovanje, po ovoj tablici, ima čudna svojstva. Ako izuzmemo prve dve kolone i vrste, neke osobe se ne pojavljuju u ostatku tabele. To su pored Peana i njegovog oca: deda, pradeda, navrdeda, askurđel, sudepač, ožmikura, … Da biste ovo videli kao i da biste nastavili niz onih koji fale treba da napravite veću tablicu (savet: koristite oznake O,OO,OOO,…, posebno nakon belog orla). Dugo se nije znalo koliko osoba zaista fali. Kolona naslovljena na dedu (kolona deda), će izbaciti iz ovog niza dedu, dedu od dede, dedu od dede od dede, itd. Kolona naslovljena na pradedu će izbaciti pradedu, pradedu od pradede, pradedu od pradede od pradede, itd. Pošto ima sve više kolona koje brišu potencijalne osobe iz ovog niza može se očekivati da su posle nekoga svi izbrisani. Može da se pokaže da to nije slučaj, već da se ovaj niz nastavlja u nedogled. Jedna od velikih misterija je da li je svaka osoba koja se nalazi u koloni deda kombinacija dve osobe koje se nalaze u ovom nizu. Npr. kurđun iz kolone deda je pradedin navrdeda (oba iz niza). Pored ovog tzv. Goldbahovhovog pitanja, postoje i mnoga druga na ovu temu. Neka su verovatno najteža pitanja na koja će čovek ikada tražiti odgovor.

Ok. Meni dosta. Nadam se da je prijalo onima koji su skontali o čemu se radi. Ako nisi, zameni ove osobe sa brojevima, dakle P sa 0, OP sa 1, OOP sa dva, itd… Prvo kombinovanje je obično sabiranje. Sledeći put kada učiš neko dete da broji i sabira, misleći da je to lako, pokušaj ti da zapamtiš ovu prvu tablicu (to su samo druga imena brojeva i sabiranje samo do 16). Šta je Ričardovo kombinovanje i ovaj blesavi niz ostavljam da sam otkriješ. Matematika naravno ne mora da ima veze sa brojevima, brojevi nam mogu biti prijatelji i rođaci, a Ričard se prezivao Dedekind. Ako se nekom slučajno svidelo i hoće još, ima toga koliko god hoćete. Za početak:

http://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms

 

Fusnote:
1. Ne samo da je postojala ova žena već si ti njen direktan potomak. Svako ima mamu, pa i mama, a i ona, itd… sve do stotog ženskog pretka. Ako krenemo unazad vidimo da je svaka od njih u 100 generacija imala ćerku.
Share

Ostavite odgovor

Vaša adresa e-pošte neće biti objavljena. Neophodna polja su označena *

Možete koristiti ove HTML oznake i atribute: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>