Numerička istraživanja klasičnog problema tri tela

U potragu za periodičnim rešenjima problema tri tela upustili smo se 2010. godine. Do tada su bile poznate samo tri topološki različite familije rešenja. U radu [1] smo objavili 13 novih familija rešenja do kojih smo došli numeričkom pretragom. U međuvremenu otkriveno je nekoliko stotina novih familija. Međutim, još uvek postoji mnogo slučajeva koji nisu razmatrani i koji su interesantni za neku novu potragu: slučaj različitih masa, semikoreografije, nenulti moment impulsa.

Postoji više načina da se klasifikuju periodična rešenja problema tri tela:
1) Cris Moore je u radu [15] 1993.g. prvi predložio klasifikaciju pojedinačnih orbita na bazi (teorije) pletenica: tri tela koja se kreću u ravni opisuju pletenicu od tri niti u tro-dimenzionalnom prostoru gde je vreme uzeto kao treća dimenzija ortogonalna na ravan kretanja. Tako svaka tro-čestična orbita ima svoju tro-nitnu pletenicu, koja opet ima svoju algebarsku reprezentaciju u obliku nekog elementa grupe pletenica (sa tri niti), $B_2$, koja ima dva generatora.
2) Medjutim, umesto ovog 6-dimenzionalnog "konfiguracionog" prostora, orbite je moguće predstaviti i u dvo-dimenzionalnom prostoru oblika trougla, na tzv. sferi oblika. Preslikavanje sa 6-dimenzionalnog konfiguracionog prostora na dvo-dimenzionalnu sferu oblika je od 1931.g poznato u matematici kao Hopfovo - ono ima svoje osobenosti koje su detaljno proučavane, medjutim neka pitanja su ostala bez odgovora.
3) Klasifikaciju koju smo mi koristili je predložio Richard Montgomery 1998., a bazira se na sferi oblika trougla. Svako periodično rešenje odgovara zatvorenoj krivoj na sferi bez tri (sudarne) tačke (gde se nalaze singulariteti potencijala) tako da je moguće koristiti homotopiju kako bi se rešenja klasifikovala. Na ovaj način se svakom periodičnom rešenju dodeljuje jedan element slobodne grupe $F_2(a,b)$ sa dva generatora $(a,b)$. Ova klasifikacija se u mnogo čemu pokazala dobrom i korisnom, ali su neka pitanja ostala otvorena.

Pletenice i njihove grupe su intenzivno proučavane u matematici još od 1920-tih, ali je njihova veza sa slobodnim grupama preko Hopfovog preslikavanja ostala netaknuta. Dalja istraživanja bi podrazumevala razmatranja pitanja kao što su:
1) Kako permutacije povezuju različite (klase) elemente slobodne grupe?
2) Koja je veza izmedju grupe pletenica i slobodne grupe na sferi oblika?
3) Šta bi bila najbolja mera "topološke kompleksnosti"?
...

Dinamičke osobine, kao što su na primer energija, period, ugaoni momenat, koeficijenti stabilnosti i slično, pojedinih rešenja mogu zavisiti od njihove topologije, t.j. od topologije zatvorene krive na sferi oblika. Važi i obrnuto, rešenja sa datom topologijom mogu da postoje samo za odredjene vrednosti dinamičkih osobina. Pre naših prvih rešenja niko nije predvideo niti očekivao bilo kakvu vezu izmedju ta dva na-izgled nepovezana skupa osobina. Ono na šta smo do sada nabasali, prvo u radu [5] za orbite sa nultim ugaonim momentom, je zavisnost "skaliranog" perioda t.j. izvesne funkcije energije i perioda, ili dejstva orbite od njene "topološke kompleksnosti". Ova zavisnost je linearna. U radu [7] smo našli to isto, ali za orbite sa ne-nultim ugaonim momentom, mada, za sada, samo sa jednom vrstom topologije. Tu smo prvi put primetili i vezu izmedju stabilnosti rešenja i postojanja novih tzv. "satelitskih" orbita, već vidjenih u radu [3]. Slične veze su kasnije, u radu [8], nadjene i u mnogim drugim slučajevima, a u radu (Li & Liao 2017) su proverene u stotinama slučajeva.
Ovi rezultati, mada tek početni, jasno stavljaju do znanja da postoji jaka veza između dinamičkih i topoloških osobina periodičnih rešenja. Pitanje je kakva je ta veza i od čega se sastoji? Dalja istraživanja bi podrazumevala traženje drugih veza, kao i objašnjavanje uzroka već otkrivenih veza.

U slučaju da potencijal kojim interaguju tri tela "malo" promenimo i umesto $1/r$ stavimo $1/r2$, kao što je Jakobi je još sredinom 19. veka primetio, potraga za periodičnim rešenjima se znatno pojednostavljuje, zato što se jedan stepen slobode eliminiše, odnosno "zaledi": u ovom slučaju "veličina" trougla (koja se opisuje tzv. hiper-radijusom) postaje konstanta t.j. sistem tri tela postaje invarijantan pod transformacijama homogenog širenja ili skupljanja. Zato ovaj dinamički sistem ima dva stepena slobode, pa se sada potraga za periodičnim rešenjima u slučaju nultog momenta impulsa odvija u redukovanom trodimenzionalnom dinamičkom prostoru opisanom sa tri diferencijalne jednačine prvog reda, što je mnogo jednostavnije nego u Njutnovom potencijalu.

Nije nam namera da formule koje slede uplaše čitaoca (slobodno ih preskočite), već da daju brz uvid. Tri diferencijalne jednačine koje opisuju dinamički sistem tri promenljive su: $\alpha \in [0,\pi]$, $\phi \in [0,2\pi]$ i $\theta \in [0,2\pi]$ su $$\dot{\alpha}=\sqrt{8 |V|} \sin \theta,$$ $$\dot{\phi}=\sqrt{8 |V|} \frac{\cos \theta}{\sin \alpha},$$ $$\dot{\theta}=\sqrt{8 |V|} \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cos \theta + \sqrt{\frac{2}{|V|}} A \cos \theta + \sqrt{\frac{2}{|V|}} B \frac{\sin \theta}{\sin{\alpha}},$$ gde su $V$, $A$, i $B$ funkcije od $\alpha$ i $\phi$: $$V=V(\phi,\alpha)=-\sum_{l=0}^{2} \frac{1}{1-\sin \alpha \cos (\phi + 2\pi l /3)}$$ $$A=A(\phi,\alpha)=-\frac{\partial |V|}{\partial \alpha}=\sum_{l=0}^{2} \frac{\cos \alpha \cos (\phi + 2\pi l /3)}{(1-\sin \alpha \cos (\phi + 2\pi l /3))^2},$$ $$B=B(\phi,\alpha)=--\frac{\partial |V|}{\partial \phi}=\sum_{l=0}^{2} \frac{\sin \alpha \sin (\phi + 2\pi l /3)}{(1-\sin \alpha \cos (\phi + 2\pi l /3))^2},$$ Do sada smo se bavili nalaženjem periodičnih rešenja sa početnim uslovima u jednodimenzionalnom podprostoru ovog sistema. Rezultati su objavljeni u [9]. Šta se dešava kada se izađe iz tog 1D podprostora? Da li se na neka pitanja ovde može odgovoriti analitički? Kako izgledaju jednačine za nenulti moment impulsa? Možete tragati za odgovorima na ova i slična pitanja.

Vizuelizacija dinamičkih sistema koji se javljaju u problemima kojima se bavimo može biti veoma koristan alat za razumevanje i prezentovanje rezultata. Unutar ove teme, student bi ovladao javascript tehnikama za 2D i 3D vizuelizacije dinamičkih sistema i rešenja jednačina.