BAZIRANO NA RADOVIMA:

• "Numerical Search for Periodic Solutions in the Vicinity of the Figure-Eight Orbit: Slaloming around Singularities on the Shape Sphere", M. Suvakov, submitted to Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, arXiv:1312.7002
  
• "A guide to hunting periodic three-body orbits", M. Suvakov and V. Dmitravsinovic, American Journal of Physics, in press

SADRŽAJ

• MOTIVACIJA: kako & zašto čestičar i plazmaš počinju da rade na problemu nebeske mehanike?
• Uvod: podsetnik - 2 tela / 3 tela
• Uvod: pregled poznatih orbita - klasične / skorašnje
• Alati: klasifikacija orbita: pletenice i sfera oblika
• Neka nova rešenja
• Zaključak, pitanja

UVOD: POZNATE ORBITE TRI TELA

Tri klasične orbite: Slobodan pad Ojlerovo r. (1767), jedno telo u sredini, uvek nestabilno Lagranževo (1772), stabilno za (veoma) različite mase Samo 2. i 3. su bez sudara Samo 3. može biti stabilno

Klasične orbite u astronomiji:

Lagranževo rešenje: Trojanci: Achilles, Patroclus, Hector, Nestor (1905 i kasnije) Sunce - Mars - 5261 Eureka (1990), do danas još dva SOHO i još bar dve misije u L1, i dve u L2 Potkovičasta orbita (u restrikovanom problemu tri tela) između dve Lagranževe tačke: L4 i L5 Sunce - Zemlja - 3753 Cruithne (1986)

MUROVA REŠENJA

OSMICA

Chenciner i Montgomery ponovo otkrili i formalno dokazali egzistenciju: [A. Chenciner, R. Montgomery, Ann. of Math. 152 881-901 (2000)] Mi smo našli za druga dva potencijala ($\Delta$ i Y-string) [M. Šuvakov, V. Dmitrašinović, Phys Rev E 83 056603 (2011)] Murov PRL je prvi pokušaj klasifikacije orbita

MUROVA OSMICA

APPLET

ALAT: SFERA OBLIKA

Osnovna svojstva sfere oblika

• Jednostavna reprezentacija permutacione simetrije
• Tri crvene tačke na ekvatoru predstavljaju tri binarna sudara

SFERA OBLIKA "ODOZGO"

APPLET

• Hemisfere odgovaraju različitim orijentacijama (refleksija)
• Severni i južni pol su jednakostranični trouglovi (do na orijentaciju)
• Ekvator: kolinearne konfiguracije, sizigije (degenerisani trouglovi)

ALAT: KLASIFIKACIJA ORBITA POMOĆU SFERE OBLIKA

• Sfera sa tri "rupe" je homeomorfna ravni sa dve (stereografska projekcija).
• Označimo orijentisane petlje oko tih "rupa" sa dva "slova": $a,b$.
• Petlje (orbite) klasifikuju klase konjugacije slobodne grupe sa ova dva generatora.

ALAT: KLASIFIKACIJA ORBITA POMOĆU SFERE OBLIKA

• Periodične orbite su opisane klasama konjugacije slobodne grupe sa dva generatora ($a,b$).
• Zbog lakšeg zapisa koristimo velika slova za inverzne elemente: $A=a^{-1}$, $B=b^{-1}$.
• Bruk-Enon --- $a$, ili $b$ (do na permutaciju)
• Murova osmica --- $abAB$ = $(abAB, BabA, ABab, bABa)$

METOD

• Početni uslovi su:
  
  
  • simetrična konfiguracija (Ojlerova tačka)
  • paralelne brzine koje su u sumi nula i formiraju L=0
  • dva parametra: $v_x$ i $v_y$ komponente $v$
• Koristimo Runge-Kutta-Fehlberg metod (RKF45): ukupna akumulirana greška $\sim 10^{-12}$

Strategija pretrage

• Tražimo minimum funkcije povratka:
  $$d({\bf X}_{0},T_0) = min_{t\leq T_0}|{\bf X}(t) - {\bf X}(0)|,$$ za fiksirano vreme $T_0$.
  
• Nakon lociranja regija minimuma, spuštamo se duž gradijenta kako bi se minimum odredio preciznije.

LOVIŠTE

• Fokus pretrage je na dvodimenzionalnom prozoru:
  $$\dot x_1(0) \in (0,1), \dot y_1(0) \in (0,1)$$
  
• Jednačine kretanja su integraljene do:
  
  $$T_0=100$$
  
• na rešetci dimenzija $1000 \times 1000$
  
  [Šuvakov and Dmitrašinović, PRL 110, 114301 (2013)]

REŠENJA

Klase rešenja

• Solutions can be classified according to their symmetries - geometrical
  • I) two separate reflections w.r.t. two distinct axes (equator and zeroth meridian)
  • II) one point reflection - joint reflections w.r.t. both axes
• Algebraic symmetries
  • A) symmetric under $a \leftrightarrow A$ and $b \leftrightarrow B$;
  • B) symmetric under $a \leftrightarrow b$ and $A \leftrightarrow B$
  • C) no symmetry

NOVA REŠENJA

• Fokus pretrage je na prozoru oko početnih uslova za osmicu:
  $\dot x_1(0) \in (0.20,0.46)$, $\dot y_1(0) \in (0.51,0.56)$
• Jednačine kretanja su integraljene do $T_0=100$
• na rešetci dimenzija $130 \times 1000$

NEW CHOREOGRAPHY