PROBLEM TRI TELA: PERIODIČNE TRAJEKTORIJE I TOPOLOŠKA KLASIFIKACIJA

Milovan Šuvakov, Veljko Dmitrašinović

Laboratory for gaseous electronics
Center for non-equilibrium processes
Institute of physics Belgrad


April 2014.

Transition Styles

You can select from different transitions, like:
Cube - Page - Concave - Zoom - Linear - Fade - None - Default

Themes

Reveal.js comes with a few themes built in:
Sky - Beige - Simple - Serif - Night - Default

* Theme demos are loaded after the presentation which leads to flicker. In production you should load your theme in the <head> using a <link>.

Saradnik Veljko Dmirtrašinovic

BAZIRANO NA RADOVIMA:

  • "Numerical Search for Periodic Solutions in the Vicinity of the Figure-Eight Orbit: Slaloming around Singularities on the Shape Sphere", M. Suvakov, submitted to Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, arXiv:1312.7002
  • "A guide to hunting periodic three-body orbits", M. Suvakov and V. Dmitravsinovic, American Journal of Physics, in press

SADRŽAJ

  • MOTIVACIJA: kako & zašto čestičar i plazmaš počinju da rade na problemu nebeske mehanike?
  • Uvod: podsetnik - 2 tela / 3 tela
  • Uvod: pregled poznatih orbita - klasične / skorašnje
  • Alati: klasifikacija orbita: pletenice i sfera oblika
  • Neka nova rešenja
  • Zaključak, pitanja

[www.phdcomics.com]

MOTIVACIJA

MOTIVACIJA

  • Spektar ovih sistema ima određene regularnosti: Y-struna egzaktnu, $\Delta$ aproksimativnu O(2) simetriju
  • Prelazak na klasičnu mehaniku
    [M. Šuvakov, V. Dmitrašinović Phys Rev E 83 056603 (2011)]
  • Pitali smo se sledeće:
    • da li postoji orbita "osmica" za Y i $\Delta$ potencijal? Da
    • da li možemo naći i druge orbite za Y i $\Delta$ potencijal? Da
    • da li možemo naći i druge orbite za Njutnov potencijal? Da !

UVOD: PROBLEM DVA TELA

  • Dimenzija konfiguracionog prostora: 2 x 2 = 4
  • Dimenzija faznog prostora: 2 x 4 = 8
  • Zakoni održanja:
    1. energija: 1
    2. impuls: 2 + 2
    3. ugaoni momenat: 1
    4. Laplace-Runge-Lenz-ov vektor - 1
  • Maksimalno super-integrabilni sistem (rešenja?)

UVOD: PROBLEM TRI TELA

  • Dimenzija konfiguracionog prostora: 3 x 2 = 6
  • Dimenzija faznog prostora: 2 x 6 = 12
  • Zakoni održanja:
    1. energija: 1
    2. impuls: 2 + 2
    3. ugaoni momenat: 1
    4. H. Bruns, [Acta Math. 11, 25 (1887) ]: Nema više!
  • ostalo: 6 = 3 + 3 = 3 d.o.f.

UVOD: PROBLEM TRI TELA

  • Rešenja mogu biti:
    • ograničena / neograničena
    • periodična / kvaziperiodična / haotična
  • H. Poincare:
... ono što čini ova (periodična) rešenja tako dragocenim za nas, je to da su ona, takoreći, jedini otvor kroz koji možemo da probamo da prodremo u mesto koje je, do sada, delovalo nepristupačnim.

UVOD: POZNATE ORBITE TRI TELA

  • Tri klasične orbite:
    1. Slobodan pad
    2. Ojlerovo r. (1767), jedno telo u sredini, uvek nestabilno
    3. Lagranževo (1772), stabilno za (veoma) različite mase
  • Samo 2. i 3. su bez sudara
  • Samo 3. može biti stabilno

Klasične orbite u astronomiji:

  • Lagranževo rešenje:
    • Trojanci: Achilles, Patroclus, Hector, Nestor (1905 i kasnije)
    • Sunce - Mars - 5261 Eureka (1990), do danas još dva
    • SOHO i još bar dve misije u L1, i dve u L2
  • Potkovičasta orbita (u restrikovanom problemu tri tela) između dve Lagranževe tačke: L4 i L5
    • Sunce - Zemlja - 3753 Cruithne (1986)

UVOD: JOŠ NOVIJE ORBITE

  • Putovanja u kosmos kao i moderni računari oživljavaju interes za ovim poljem u `60
  • Jedna familija rešenja (sa ugaonim momentom kao parametrom) je nađena od strane Bruka, Hadžidemetriua i Enona sredinom 70tih.
  • Do `90 je zamro interes.

MUROVA REŠENJA

  • Mur je našao nekoliko orbita numerički (neke stare). Među njima je:

    [C. Moore, Phys Rev Lett 70 3675 (1993)]
  • Nova orbita koja pripada istoj familiji kao Ojlerova i Lagranževa i predstavlja analogon "potkovici" (za jednake mase)
  • Čuvnu "osmicu"!

OSMICA

  • Chenciner i Montgomery ponovo otkrili i formalno dokazali egzistenciju:
    [A. Chenciner, R. Montgomery, Ann. of Math. 152 881-901 (2000)]
  • Mi smo našli za druga dva potencijala ($\Delta$ i Y-string)
    [M. Šuvakov, V. Dmitrašinović, Phys Rev E 83 056603 (2011)]
  • Murov PRL je prvi pokušaj klasifikacije orbita

MUROVA OSMICA

APPLET

ALAT: KLASIFIKACIJA PLETENICAMA

ALAT: JAKOBIJEVE KOORDINATE

$$\rho = \frac{1}{\sqrt{2}} (\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2)$$ $$\lambda = \frac{1}{\sqrt{6}} (\mathbf{x}_1+\mathbf{x}_2-2 \mathbf{x}_3)$$ Komplikovana reprezentacija permutacione simetrije!

ALAT: SFERA OBLIKA

$$ \vec n = (n_x^{'},n_y^{'},n_z^{'}) = \left(\frac{2 {\vec \rho} \cdot {\vec \lambda}}{R^2}, \frac{\lambda^2 - \rho^2}{R^2}, \frac{2 ({\vec \rho} \times {\vec \lambda}) \cdot \vec e_z}{R^2} \right ) $$ $$R = \sqrt{\rho^{2} + \lambda^{2}}~~({\rm hyper-radius = ~''size''})$$

Osnovna svojstva sfere oblika

  • Jednostavna reprezentacija permutacione simetrije
  • Tri crvene tačke na ekvatoru predstavljaju tri binarna sudara

SFERA OBLIKA "ODOZGO"

APPLET
  • Hemisfere odgovaraju različitim orijentacijama (refleksija)
  • Severni i južni pol su jednakostranični trouglovi (do na orijentaciju)
  • Ekvator: kolinearne konfiguracije, sizigije (degenerisani trouglovi)

PERIODIČNE ORBITE NA SFERI OBLIKA

  • Periodične orbite su zatvorene petlje na sferi
  • Orbite bez sudara obiilaze tri sudarne tačke
  • Nemoguće je kontinualno prevući orbitu preko sudarne tačke
  • Primer na slici je jedna Bruk-Enonova orbita i osmica

ALAT: KLASIFIKACIJA ORBITA POMOĆU SFERE OBLIKA


  • Sfera sa tri "rupe" je homeomorfna ravni sa dve (stereografska projekcija).
  • Označimo orijentisane petlje oko tih "rupa" sa dva "slova": $a,b$.
  • Petlje (orbite) klasifikuju klase konjugacije slobodne grupe sa ova dva generatora.

ALAT: KLASIFIKACIJA ORBITA POMOĆU SFERE OBLIKA

  • Periodične orbite su opisane klasama konjugacije slobodne grupe sa dva generatora ($a,b$).
  • Zbog lakšeg zapisa koristimo velika slova za inverzne elemente: $A=a^{-1}$, $B=b^{-1}$.
  • Bruk-Enon --- $a$, ili $b$ (do na permutaciju)
  • Murova osmica --- $abAB$ = $(abAB, BabA, ABab, bABa)$

LOV NA NOVA REŠENJA: PRETPOSTAVKE

  • Kretanje u ravni
  • Jednake mase $m_{1,2,3}=1$
  • Njutnova interakcija sa konstantom $G=1$ (potencijal = $-1/r$).
  • Restrikcija početnih uslova na negativnu energiju i ugaoni momenat $L=0$
  • Fazni prostor je 6D. Ako eliminišemo skaliranjem jedan parametar i posmatramo sizigije, ostaje nam 4D. Dva dodatna uslova:
    • $R'(0)=0$: (-1 dim.)
    • Simetrična sizigija - Ojlerova konfiguracija: (-1 dim.)
  • Sa ovim uslovima ostalo je dva stepena slobode.

METOD

  • Početni uslovi su:

    • simetrična konfiguracija (Ojlerova tačka)
    • paralelne brzine koje su u sumi nula i formiraju L=0
    • dva parametra: $v_x$ i $v_y$ komponente $v$
  • Koristimo Runge-Kutta-Fehlberg metod (RKF45): ukupna akumulirana greška $\sim 10^{-12}$

Strategija pretrage

  • Tražimo minimum funkcije povratka:
    \[d({\bf X}_{0},T_0) = min_{t\leq T_0}|{\bf X}(t) - {\bf X}(0)|, \] za fiksirano vreme $T_0$.
  • Nakon lociranja regija minimuma, spuštamo se duž gradijenta kako bi se minimum odredio preciznije.

LOVIŠTE

  • Fokus pretrage je na dvodimenzionalnom prozoru:
    \[\dot x_1(0) \in (0,1), \dot y_1(0) \in (0,1)\]
  • Jednačine kretanja su integraljene do:

    \[T_0=100\]
  • na rešetci dimenzija $1000 \times 1000$

    [Šuvakov and Dmitrašinović, PRL 110, 114301 (2013)]

REŠENJA


Klase rešenja

  • Solutions can be classified according to their symmetries - geometrical
    • I) two separate reflections w.r.t. two distinct axes (equator and zeroth meridian)
    • II) one point reflection - joint reflections w.r.t. both axes
  • Algebraic symmetries
    • A) symmetric under $a \leftrightarrow A$ and $b \leftrightarrow B$;
    • B) symmetric under $a \leftrightarrow b$ and $A \leftrightarrow B$
    • C) no symmetry

GALERIJA REŠENJA

http://suki.ipb.ac.rs/3body/

http://orbitopedia.org
(u pripremi)

LEPTIR I

MOLJAC I

VILIN KONJIC

CVIKE

JIN-JANG I

LEPTIR IV

NOVA REŠENJA

  • Fokus pretrage je na prozoru oko početnih uslova za osmicu:
    $\dot x_1(0) \in (0.20,0.46)$, $\dot y_1(0) \in (0.51,0.56)$
  • Jednačine kretanja su integraljene do $T_0=100$
  • na rešetci dimenzija $130 \times 1000$

NEW CHOREOGRAPHY

ZAKLJUČAK, ŠTA DALJE?

  • Urađeno sledeće:
    • Nađeno 13 (+11) klasa rešenja
    • Koristili smo topološki klasifikacioni metod (prvi put)
  • Trenutno radimo na:
    • Provera stabilnosti (M. Shibayama)
    • Potraga za satelitima B-H-H rešenja (M. Janković)
    • Gravitacioni talasi (A. Hudomal)
  • Planovi za dalje:
    • Proširivanje na različite mase i ugaone momente - ovo možda stabilizuje nestabilne orbite
    • Uključiti relativnost
  • Dublja pitanja: Koja rešenja postoje i zašto? Univerzalnosti?

PITANJA ?


http://suki.ipb.ac.rs/talks/pmfunis2014/